Редакция: Июль 2021 На главную страницу
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИГНАЛА ВОКРУГ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ
(Скорость света в одном направлении относительно поверхности Земли)
Показано, что скорость света в одном направлении на поверхности вращающегося тела зависит от направления его распространения, в то время, как средняя скорость распространения света на пути туда и обратно вдоль траекторий точек вращающейся поверхности остается равной постоянной \(с\).
Постоянство средней скорости света обусловлено поперечным радиальным сокращением вращающихся тел, которое является следствием продольного лоренцевского сокращения элементов вращающейся поверхности, не противоречащим инвариантности поперечных размеров тел при отсутствии их деформации.
Все ранее проведенные эксперименты по измерению скорости света осуществлялись путем ее измерения с помощью одних единственных часов по удвоенному расстоянию между приемопередающим устройством и отражающим зеркалом и по времени распространения сигнала на пути к зеркалу и обратно.
Пуанкаре, Рейхенбах, Тяпкин, Бриллюэн [2-5] и многие другие отмечали, что только измерение скорости света путем использовния пары предварительно синхронизированных в точках \(A\) и \(B\) пространства часов дало бы скорость света в одном направлении – из точки \(A\) в точку \(B\). Все остальные методы, включая даже, как показал Карлов [4], метод аcтрономических наблюдений, использованный Ремером, дают среднее значение скорости света в противоположных направлениях.
Однако для синхронизации двух пространственно разнесенных часов необходимо знать ту самую скорость света в направлении от точки \(A\) к точке \(B\), которую и необходимо измерить. Транспортировка часов, предварительно синхронизированных в одной точке пространства, также не позволяет однозначно синхронизировать часы, так как, предварительно не выбрав произвольного критерия синхронности, нельзя сказать какая из скоростей транспортировки часов не приводит к их рассинхронизации.
То, что эта гипотеза непроверяема в строго инерциальных системах отсчета, по-видимому, следует считать верным. Верно и то, что разместив, к примеру, одни часы на западе Москвы, а другие на востоке этого города, нельзя измерить скорость света с запада на восток Москвы без предварительной синхронизации часов.
Но следует ли из этого, что скорость света с запада на восток (или наоброт) нельзя измерить вообще?
То, что такое измерение возможно и оно не требует предварительной синхронизации двух пространственно разнесенных часов, показывают следующие рассуждения.
Представим себе, что вблизи города Кито на самом экваторе установлен коротковолновый радиолокатор, отправляющий узконаправленный сигнал в восточном направлении. Представим себе также, что по всей линии экватора установлено множество отражателей, которые отклоняют излученный в Кито радиолокационный сигнал таким образом, что он, распространяясь вблизи поверхности Земли, обходит Землю по экватору и возвращается к радиолокатору Кито с западной стороны.
Зная длину линии, по которой распространяется радиолокационный сигнал, и время, которое потребовалось сигналу для того, чтобы обойти Землю, оператор РЛС может расчитать скорость распространения сигнала, огибающего Землю с востока на запад или в обратном направлении. То, что эти скорости будут разные и отличные от постоянной \(c\), показывают следующие рассуждения. Поместим мысленно в удаленную от Земли точку воображаемой оси вращения Земли стороннего невращающегося наблюдателя, неподвижного относительно центра Земли и рассматривающего вращающееся под нами против часовой стрелки северное полушарие Земли, мысленно отслеживая распространение сигнала,.
В системе отсчета стороннего наблюдателя скорость света, распространяющегося в пространстве, равна фундаментальной постоянной \(с\). Если бы Земля не вращалась, то сигналу для огибания гипотетически невращающейся Земли потребовалось бы время, равное длине линии, охватывающей Землю по экватору, деленной на постоянную \(с\).
Но Земля вращается!
Когда сигнал вернется в исходную точку пространства стороннего наблюдателя, радиолокатор города Кито переместится примерно на 62 метра на восток и прибывшему с запада сигналу потребуется дополнительное время, равное двум десятимиллионным секунды, для возвращения к локатору.
Если оператор развернет антенну на 180 градусов и направит сигнал в западном направлении, то сигналу потребуется на две десятимиллионные секунды меньше времени для того, чтобы обойти Землю и вернуться к радиолокатору, поскольку за время облета сигналом Земли радиолокатор сместится на 62 м на восток и прибывшему с востока сигналу не придется покрывать эти 62 метра. Задержка сигнала представляет собой эффект первого порядка по отношению к величине \(v/c\), где \(v\) - линейная скорость поверхности вращающейся Земли, и достаточно велика по сравнению с релятивистскими эффектами второго порядка малости.
В случае одновременного излучения сигналов локатором в противоположных направлениях - на восток и на запад, обошедшие Землю и вернувшиеся к радиолокатору сигналы потратят на это разное время и вернутся к радиолокатору в разное время. Разница времен возвращения сигналов окажется равной примерно четырем десятимиллионным секунды. Данный эффект по сути дела является эффектом Саньяка [6], используемым в оптических гироскопах.
Если оператор отправит сигнал на восток и обеспечит пришедшему с запада сигналу возможность отразиться от вспомогательного отражателя локатора в обратную сторону и, после прохождения обратного пути, вернуться к локатору с востока, то время, необходимое для двойного «кругосветного путешествия» сигнала сначала с запада на восток, а после отражения с востока на запад, практически не отличается от времени, которое сигнал затратил бы для подобного путешествия вокруг гипотетически невращающейся Земли. В этом случае измерение скорости света на пути туда и обратно дало бы значение, по меньшей мере, с точностью до величины второго порядка равное фундаментальной постоянной \(с\).
Зная экваториальную скорость света с запада на восток или/и в обратном направлении, можно синхронизировать любую пару или множество часов, расположенных на экваторе.
В этом случае часы оказываются синхронизированными таким образом, что упомянутый сторонний наблюдатель в любой момент времени «видит» одинаковые показания часов, находящихся в разных точках экватора. Если земные экспериментаторы попытаются синхронизировать какую либо пару экваториальных часов методом Эйнштейна, полагая, что скорость света с запада на восток в точности равна постоянной \(с\), то они столкнутся с серьезными проблемами.
Во-первых, синхронизированные таким образом часы, находящиеся в совершенно одинаковых симметричных условиях, в любой момент времени будут давать разные показания стороннему наблюдателю в вышеупомянутой точке земной оси. Во-вторых, выбрав, например, в качестве опорного времени показания часов в Кито и последовательно синхронизируя каждую пару соседних часов, земные наблюдатели переходя от одной пары часов к другой, вернутся в исходную точку к опорным часам Кито и обнаружат, что опорные часы в Кито идут несинхронно сами с собой, причем "несинхронность" составляет те самые две десятимиллионные секунды.
Синхронизация же часов с учетом неравенства скоростей света с запада на восток и с востока на запад дает тот же результат, что и синхронизация часов по синхронизирующему сигналу, излученному сторонним наблюдателем из точки на воображаемой оси вращения Земли во все точки экватора.
Представим себе два одинаковых тонких кольца \(k\) и \(k’\), расположенных рядом друг с другом и без зазора надетых на цилиндрическую поверхность абсолютно гладкого опорного невращающегоя цилиндра \(Z\) радиусом \(R\).
Будем считать толщину колец пренебрежимо малой по сравению с радиусом цилиндрической поверхности цилиндра \(Z\).
Пусть на некотором участке кольца \(k’\) закреплено приемо-передающее устройство (ППУ), способное излучать электромагнитный сигнал и измерять время между моментами излучения и приема сигнала с помощью единственных внутренних «часов», а вокруг кольца установлены отражатели, которые обеспечивают распространение сигнала вокруг кольца по окружности \(O\), охватывающей поверхность цилиндра.
В этом случае импульсу, излученному ППУ, обошедшему кольцо и вернувшемуся к ППУ с другой стороны, потребовалось бы время для обхода кольца равное \(2\pi{R/c}\), где \(R\) – радиус окружности \(O\), равный радиусу опорного цилиндра, а \(c\) – скорость света в вакууме.
Предположим теперь, что кольцо \(k’\) приведено во вращение с линейной скоростью, равной \(v\), и наблюдатели, находящиеся на кольце \(k’\), осуществляют измерение времени распространения сигнала, направленного по окружности \(O\) вокруг кольца \(k’\)’ от ППУ к ППУ по ходу вращения кольца и в противоположном направлении. Предположим также, что материал кольца достаточно легок и прочен, а диаметр кольца достаточно велик, чтобы существующие на кольце центробежные силы не привели к его заметному растяжению и к образованию зазора между ним и опорным цилиндром.
Наблюдатели инерциальной системы отсчета \(K\), неподвижно связанной с опорным цилиндром и кольцом \(k’\), отслеживая распространение сигнала, обнаружили бы, что сигналу, излученному ППУ на кольце \(k’\) по ходу вращения кольца, требуется больше времени для обхода кольца и возвращения к ППУ, чем сигналу, излученному ППУ против хода вращения кольца.
Если наблюдатели, находящиеся в инерциальной системе отсчета \(K\), обнаруживают, что время распространения сигнала от ППУ к тому же ППУ в направлении вращения равно \(\Delta{t_1}\), то сигнал проходит в его системе отсчета путь длиной \(L+v\Delta{t_1}\), где \(L\) длина окружности \(O\) поперечного сечения цилиндра, а \(v\) – скорость движения ППУ.
Так как длина пути, пройденного сигналом в системе отсчета \(K\) равна \(c\Delta{t_1}\), то \(L+v\Delta{t_1}=c\Delta{t_1}\), откуда $$\Delta{t_1}=L/(c-v). \quad\text{(1)}$$ Аналогично для сигнала, распространяющегося в направлении, противоположном направлению вращения кольца \(k’\), для времени \(t_2\) распространения сигнала получим:
$$\Delta{t_2}=L/(c+v). \quad\text{(2)}$$ В силу происходящего в инерциальной системе отсчета \(K\) замедления хода внутренних часов ППУ, которые являются единственными часами на кольце \(k’\), времена \(\Delta{t’_1}\) и \(\Delta{t’_2}\) распространения света от ППУ к ППУ соответственно по ходу вращения кольца \(k’\) и навстречу ему, которые получили бы наблюдатели на кольце \(k’\), оказываются в \(\Gamma\) раз меньше времен \(\Delta{t_1}\) и \(\Delta{t_2}\), где \(\Gamma=1/[1-(v/c)^2]^{1/2}\), и равны: \(\Delta{t’_1}=\Delta{t_1}/\Gamma\); \(\Delta{t’_2}=\Delta{t_2}/\Gamma\). Отсюда, с учетом (1) и (2):
$$\Delta{t’_1}= (L/c)([1+(v/c)]/[1-(v/c)])^{1/2}\quad\text{(3)}$$ и
$$\Delta{t’_2}= (L/c)([1-(v/c)]/[1+(v/c)])^{1/2}\quad\text{(4)}$$ Теперь предположим, что сигнал, отправленный от ППУ по ходу вращения кольца \(k’\), приходя к ППУ, отражается рефлектором ППУ в противоположном направлении и после прохождения им обратного пути вновь приходит к ППУ. Полное время \(\Delta{t’_1}+\Delta{t’_2}\), которое по измерениям наблюдателей на кольце потребовалось бы сигналу на прохождение пути от ППУ сначала по ходу вращения кольца до рефлектора, а после отражения до ППУ в обратном направлении, с учетом (3) и (4), равно
$$\Delta{t’_1}+\Delta{t’_2}=2\Gamma{L/c}\quad\text{(5)}$$ Так как суммарное время распространения сигнала на пути туда и обратно отличается от времени \(2L/c\) в \(\Gamma\) раз, то создается впечатление, что и средняя скорость света на пути туда и обратно должна для наблюдателей на кольце также должна отличаться от постоянной с в \(\Gamma\) раз. Такой вывод представляется маловероятным, поскольку многочисленные эксперименты показали равенство средней скорости света на Земле на пути туда и обратно постоянной \(с\). Согласовать формулу (5) с экспериментальными результатами, можно только, предположив, что длина \(L’\) кольца \(k’\), по результатам измерения наблюдателей на кольце \(k’\), превышает длину \(L\) этого кольца, измеренную в системе отсчета \(K\), в \(\Gamma\) раз.
В литературе часто утверждается, что вследствие фиксируемого инерциальными наблюдателями сокращения достаточно короткого эталона длины, направленного вдоль вращающегося кольца, длина вращающегося кольца для наблюдателей на самом кольце должна в \(\Gamma\) превышать полученное наблюдателями инерциальной системы отсчета значение длины окружности, совпадающей с кольцом [7]. Это утверждение позволяет объяснить инвариантность средней скорости света на пути туда и обратно, но физически оно не вполне понятно.
Такое утверждение кажется особенно странным, если представить себе, что кольцо состоит из определенного количества \(n\) элементов, длина каждого из которых достаточно мала, но в несколько раз превышает длину эталона.
Если полагать, что длина достаточно короткого эталона, направленного вдоль кольца сокращается, что якобы должно приводить к удлинению кольца, то следует признать и то, что каждый из n элементов, составляющих кольцо, также должен сократиться в \(\Gamma\) раз. Однако количество элементов, из которых состоит кольцо, не зависит от того, из какой системы отсчета данное кольцо рассматривается, что приводит к противоречивости вывода об удлинении вращающегося кольца для наблюдателей на кольце.
Чтобы показать физическую суть, того, что происходит на вращающемся кольце, рассмотрим раскручивание кольца, в процессе которого оно из состояния покоя в инерциальной системе отсчета \(K\) переходит в состояние вращения.
Однако, прежде чем рассматривать разгон кольца, обратимся к более простому случаю разгона стержня в инерциальной системе отсчета.
Если к концу \(B\) стержня \(AB\) приложить продольную силу, достаточно малую, чтобы не произошла необратимая деформация стержня, то, набрав скорость \(v\), согласно преобразованию Лоренца, стержень, не изменивший своей собственной длины \(L_0\), укоротится в \(\Gamma\) раз и приобретет в системе отсчета \(K\) длину, равную \(L_0/\Gamma\) . При этом точка \(A\) стержня в процессе разгона пройдет в системе отсчета \(K\) несколько большее расстояние, чем точка \(B\). Понятно, что стержень можно разгонять приложив силу к концам \(B\) и \(A\) (и к его средним точкам), однако, чтобы не деформировать стержень, концы \(A\) и \(B\) (и средние точки) стержня разгонять нужно так, чтобы они перемещались в сответствии с законами лоренцевского сокращения ускоряющегося в данной системе отсчета стержня неизменной собственной длины, т.е. чтобы в каждый момент времени, по достижении стержнем некоторой скорости \(v\), длина \(l_v\) любого участка движущегося стержня была в \(\Gamma\) раз меньше собственной длины \(l_0\) этого участка.
Назовем разгон стержня, при котором выполняется это условие, несинхронным (в сторонней инерциальной системе отсчета K) недеформирующим разгоном.
Стержень \(AB\) можно принудительно разгонять так, чтобы концы \(A\) и \(B\) ускорялись согласованно, оставаясь в любой момент времени \(t\) системы отсчета \(K\) на неизменном расстоянии друг от друга в системе отсчета \(K\). В этом случае длина \(L_v\) ускоряющегося стержня сохраняется в процессе разгона, однако собственная длина \(L_o=\Gamma{L_v}\) увеличивается в \(\Gamma\) раз и стержень, после того как он прекращает ускоряться и становится инерциальным телом, оказывается принудительно растянутым в инерциальной системе отсчета, неподвижно связанной с со стержнем [8].
Если стержень упругий, то необходимы усилия, сохраняющие его длину после завершения разгона, если же стержень пластичен, то происходит его удлинение без остаточных деформационных напряжений.
Будем называть разгон стержня, при котором в сторонней инерциальной системе отсчета \(K\) в каждый момент времени, по достижении стержнем некоторой скорости \(K\), длина \(l_v\) любого участка движущегося стержня остается неименной, синхронным (в сторонней инерциальной системе отсчета \(K\)) деформирущим разгоном.
Деформирующий разгон может осуществляться и путем приложения к нему распределенной нагрузки, не нарушающей данного условия.
Если на стержне находился собственный эталон длины \(Et’\) и если оба конца собственного эталона \(Et’\) жестко прикреплены к кольцу, то после синхронного деформирующего разгона числовое значение длины стержня, измеренной наблюдателями на стержне, сохранится, однако это будет обусловлено растянутостью (т.е. фактически сменой) эталона \(Et’\). Если же наблюдатели на стержне отпустят концы эталона \(Et’\), то эталон укоротится в \(\Gamma\) раз и числовое значение длины увеличится. В этом случае измеренное значение будет отвечать реальности, состоящей в удлинении стержня.
Если наблюдатели системы отсчета \(K\) раскрутят кольцо, принудительно разгоняя каждую его точку совершенно одинаковым во времени образом и оставляя каждую точку на поверхности опорного цилиндара, то наблюдатели на кольце \(k’\) обнаружат, что кольцо \(k’\) растягивается подобно тому, как растягивается согласованно разгоняемый стержень, рассмотренный нами выше, в \(\Gamma\) раз.
При этом кольцо не отодвинется от цилиндрической поверхности, поскольку его длина в системе отсчета \(K\) сохраняется. Растяжение кольца объясняется неизменностью лоренцевской длины любого достаточно малого элемента кольца \(k’\) в системе отсчета \(K\) и, как следствие, увеличением собственной длины этого элемента.
Если оба конца собственного эталона \(Et’\) наблюдателей на кольце \(k’\) будут жестко прикреплены к кольцу, то числовое значение длины кольца, измеренной наблюдателями на кольце сохранится, однако, как и в случае со стержнем, это будет обусловлено растянутостью эталона \(Et’\).
Если наблюдатели на кольце \(k’\) отпустят концы эталона \(Et’\), то эталон укоротится и длина кольца, полученная по результатам ее измерения с использованием этого эталона, окажется больше той длины, которую оно имело до его раскручивания в \(\Gamma\) раз. Удлинение кольца обусловлено его реальным физическим растяжением.
Так как значение длины \(L’\) растянутого кольца \(k’\) оказывается для наблюдателей на кольце в \(\Gamma\) раз больше, чем значение длины \(L\) окружности опорного цилиндра, измеренное в системе отсчета \(K\), т.е. так как
$$L’=\Gamma L\quad\text{(6)}$$ то средняя скорость скорость света, полученная делением длины \(2L’\) на время \(\Delta{t’_1}+\Delta{t’_2}=2\Gamma{L/c}\), оказывается равной \(c\).
Тот же результат был бы получен, если бы наблюдатели системы отсчета \(K\) раскручивая кольцо \(k’\) синхронно, давали бы ему возможность сокращаться в процессе синхронного разгона. Средняя скорость сигнала на пути от ППУ к ППУ и обратно к ППУ вдоль поверхности кольца \(k’\) оказалась бы равной \(c\) и в том случае, если бы наблюдатели на кольце \(k’\) измерили ее после сокращения кольца \(k’\). Но в этом случае наблюдатели системы отсчета \(K\) обнаружили бы, что сигнал распространяется не по окружности \(O\) длиной \(L\), как это было рассмотрено нами в начале статьи, а по окружности \(O_1\) меньшей длиной \(L_1\), равной \(L/\Gamma\). В этом случае время \(\Delta{t’_1}+\Delta{t’_2}\) оказалось бы, по их расчетам, равным не \(2\Gamma{L/c}\), а несколько меньшим и равным \(2\Gamma{L_1/c}\). Но \(\Gamma{L_1}=L\), в связи чем \(\Delta{t’_1}+\Delta{t’_2}=2L/c\). Так как для наблюдателей на кольце \(k’\) значение длины \(L_1\) окружности \(O_1\) совпадает со значением длины \(L\) окружности \(O\), полученным наблюдателями системы отсчета \(K\), то, расчитывая среднюю скорость и деля величину \(2L_1\), равную величине \(2L\), на время \(\Delta{t’_1}+\Delta{t’_2}\), равное \(2L/c\), они получили бы скорость, равную постянной \(c\).
Представим себе кольцо радиусом \(R_0\), которое постепенно раскручивают до сколь угодно большой угловой скорости \(\omega\). При некоторой угловой скорости \(\omega\) линейная скорость \(v\) кольца приближается к скорости света. Однако радиус кольца в инерциальной системе отсчета \(K\) при этом сокращается, как было показано нами выше, в \(\Gamma\) раз и становится равным \(R=R_0/\Gamma\).
Запишем \(\Gamma\) в виде \(1/[1-(\omega{R/c})^2]^{1/2}\), где \(\omega{R}\) – линейная скорость \(v\) кольца.
Тогда $$R=R_0[1-(\omega{R/c})^2]^{1/2}\quad\text{(7)}$$ Из (7) после элементарных преобразования находим
$$R=R_0/[1+(\omega{R_0/c})^2]^{1/2}\quad\text{(8)}$$ Из формулы (8) ясно, что при увеличении угловой скорости \(\omega\) радиус \(R\) вращающегося тела уменьшается, при этом линейная скорость \(v=\omega{R}\), которая с учетом (8) равна
$$v=R_0/[1/\omega^2+(R_0/c)^2]^{1/2}\quad\text{(9)},$$ не может превысить в инерциальной системе отсчета \(K\) скорости света \(c\).
2. Poincare H. Sur la dynamique de l'elektron. C.R. Acad. Scien. Paris, 1905, v. 140, p. 1504.
3. А.А. Тяпкин. Успехи физических наук. 1972, 106, с. 617-659.
4. L. Karlov. Australian journal of physics. 23, 1970, p. 243-253.
5. Л. Бриллюэн. Новый взгляд на теорию относительности. М., Мир, 1972, с. 100.
6. Г.Б. Малыкин. Успехи физических наук. 2000, том 170, № 12, с. 1325-1349.
7. М.Борн. Эйнштейновская теория относительности. М., Мир, 1972, 308-310.
8. Д.В. Скобельцын. Парадокс близнецов в теории относительности. М., Наука. 1966.
9. В.Н. Матвеев. В третье тысячелетие без физической относительности? М., ЧеРо, 2000.